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        1. 已知函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(
          π
          6
          ,0),(
          π
          3
          ,1)

          (Ⅰ)求實(shí)數(shù)a,b的值;
          (Ⅱ)當(dāng)x∈R時(shí),求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
          (Ⅲ)若x∈[0,
          π
          2
          ],是否存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)g(x)=
          3
          f(x)+m2
          的最大值為4?若存在,求出實(shí)數(shù)m的值,若不存在,說(shuō)明理由.
          分析:(I)由已知中函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(
          π
          6
          ,0),(
          π
          3
          ,1)
          .代入構(gòu)造a,b的方程,得到實(shí)數(shù)a,b的值;
          (Ⅱ)由(I)中結(jié)論結(jié)合和差角公式,將函數(shù)f(x)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式,根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
          (Ⅲ)由x∈[0,
          π
          2
          ]可得x-
          π
          6
          ∈[-
          π
          6
          π
          3
          ]進(jìn)面可求出g(x)=2
          3
          sin(x-
          π
          6
          )+m2
          的最大值的表達(dá)式,進(jìn)而求出滿足條件的m的值.
          解答:解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(
          π
          6
          ,0),(
          π
          3
          ,1)

          1
          2
          a+
          3
          2
          b=0
          3
          2
          a+
          1
          2
          b=1
          ,(4分)         
          解得:a=
          3
          ,b=-1  (5分)
          (Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x)=
          3
          sinx-cosx=2sin(x-
          π
          6
          )(7分)
          2kπ+
          π
          2
          ≤x-
          π
          6
          ≤2kπ+
          2
          ,k∈Z
          ,
          所以f(x)遞減區(qū)間為[2kπ+
          3
          ,2kπ+
          3
          ],(k∈Z)
          (9分)
          (Ⅲ)∵x∈[0,
          π
          2
          ],
          ∴x-
          π
          6
          ∈[-
          π
          6
          ,
          π
          3
          ],(10分)
          g(x)=2
          3
          sin(x-
          π
          6
          )+m2

          ∴當(dāng)x-
          π
          6
          =
          π
          3
          ,即x=
          π
          2
          時(shí),
          -
          1
          2
          ≤sin(x-
          π
          6
          )≤
          3
          2
          ,(12分)
          g(x)max=3+m2,
          ∴3+m2=4,
          ∴m=±1所以存在實(shí)數(shù)m=±1使g(x)的最大值為4(14分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調(diào)性,其中求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          a-x2
          x
          +lnx  (a∈R , x∈[
          1
          2
           , 2])

          (1)當(dāng)a∈[-2,
          1
          4
          )
          時(shí),求f(x)的最大值;
          (2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過(guò)原點(diǎn),則不等式f(x)>
          34
          的解集為
          (-∞,-2)
          (-∞,-2)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3),解不等式f(
          2x
          )>3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿足a•b≠0
          (1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
          (2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
          f(x)   ,  x>0
          -f(x) ,    x<0
           給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時(shí),若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號(hào)是
           

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          同步練習(xí)冊(cè)答案