Question

如圖所示，在棱長為2cm的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁的中點是P，過點A₁作出與截面PBC₁平行的截面，簡單證明截面形狀，并求該截面的面積．

Answer 1

分析：根據(jù)線面平行的定義和性質(zhì)可以證明與截面PBC₁平行的截面是平行四邊形．然后求平行四邊形的面積即可．

解答：解：取AB、C₁D₁的中點M、N，連結(jié)A₁M、MC、CN、NA₁．
由于A₁N∥PC₁∥MC且A₁N=PC₁=MC，
∴四邊形A₁MCN是平行四邊形．
又∵A₁N∥PC₁，A₁M∥BP，A₁N∩A₁M=A₁，
PC₁∩BP=P，
∴平面A₁MCN∥平面PBC₁
因此，過A₁點作與截面PBC₁平行的截面是平行四邊形．
又連結(jié)MN，作A₁H⊥MN于H，由于A₁M=A₁N=

5

，MN=2

2

，
則AH=

3

．
∴S△A1MN=

1

2

×2

2

×

3

=

6

故 S平行四邊形A1MCN=2S△A1MN=2

6

（cm²）．

點評：本題主要考查空間立體幾何中截面的形狀的判斷，利用線面平行或面面平行的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．