Question

橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，短軸兩端點(diǎn)B₁、B₂，已知F₁、F₂、B₁、B₂四點(diǎn)共圓，且點(diǎn)N（0，3）到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離為5．
（1）求此時(shí)橢圓C的方程；
（2）設(shè)斜率為k（k≠0）的直線m與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，Q為EF的中點(diǎn)，問E、F兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)P（0，）、Q的直線對(duì)稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由F₁、F₂、B₁、B₂四點(diǎn)共圓，得出b=c，進(jìn)而得到a²=b²+c²=2b²，再設(shè)橢圓的方程（含參數(shù)b），設(shè)H（x，y）為橢圓上一點(diǎn)，化簡點(diǎn)（0，3）到橢圓上的點(diǎn)的距離，利用其最大值，分類討論求出參數(shù)b的值，即得橢圓的方程．
（2）設(shè)直線L的方程為y=kx+m，代入．由直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)可得△＞0即m²＜32k²+16，要使A、B兩點(diǎn)關(guān)于過點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱，必須，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入得，從而可求k得范圍
解答：解：（1）∵F₁、F₂、B₁、B₂四點(diǎn)共圓，
∴b=c，
∴a²=b²+c²=2b²，
設(shè)橢圓的方程為，N（0，3）
設(shè)H（x，y）為橢圓上一點(diǎn)，則|HN|²=x²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b），
①若0＜b＜3，|HN|²的最大值b²+6b+9=50得 （舍去），
②若b≥3，|HN|²的最大值2b²+18=50得b²=16，
∴所求的橢圓的方程為：．
（2）設(shè)直線L的方程為y=kx+m，代入得（1+2k²）x²+4kmx+（2m²-32）=0．
由直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)知△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-32）＞0，
m²＜32k²+16．②
要使A、B兩點(diǎn)關(guān)于過點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱，必須
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則，
∵
解得．③
由②、③得
∴，
∵k²＞0，
∴
∴或0
故當(dāng)或0時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于過點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱得性質(zhì)的應(yīng)用．橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、函數(shù)最值的求法等，解題時(shí)要注意分類討論思想的合理運(yùn)用．