Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD．
（1）求證：AB⊥PD；
（2）若點(diǎn)E是線段PB的中點(diǎn)，求證：AE∥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，我們易得PA⊥AB，AB⊥AD，由線面垂直的判定定理易得AB⊥平面PAD，根據(jù)線面垂直的定義，即可得到AB⊥PD；
（2）若點(diǎn)E是線段PB的中點(diǎn)，取PC的中點(diǎn)F，連接AE，EF，DF，由三角形中位線定理，我們判斷四邊形EFDA是平行四邊形，結(jié)合空間中直線與平面平行的判定定理，即可得到AE∥平面PCD．

解答：解：
（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB．
∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD．（6分）
（2）因?yàn)辄c(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，
取PC的中點(diǎn)F，連接AE，EF，DF，
則EF是△PBC中位線．
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC，
∵AD∥BC，AD=

1

2

BC，
∴AD∥EF，AD=EF．
∴四邊形EFDA是平行四邊形，
∴AE∥DF．
∵AE?平面PCD，DF?平面PCD，
∴AE∥平面PCD．（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定及直線與平面垂直的性質(zhì)，其中熟練掌握空間直線與平面平行的判定定理，及直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．