Question

三個城市襄陽、荊州、武漢分別位于A，B，C三點處（如右圖），且AB=AC=20

2

km，BC=40km．今計劃合建一個貨運中轉站，為同時方便三個城市，準備建在與B、C等距離的O點處，并修建道路OA，OB，OC．記修建的道路的總長度為ykm．
（Ⅰ）設OB=x（km），將y表示為x的函數(shù)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函數(shù)關系，確定貨運中轉站的位置，使修建的道路的總長度最短．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設OB=xkm，延長AO交BC于D，由題意知BD=DC=

1

2

BC=20，OB=OC，OA=AD-OD=

AC2-DC2

-OD=20-OD，由此能夠將y表示為x的函數(shù)．
（Ⅱ）由y=2x+20-

x2-202

，知y′=2-

x

x2-202

，由此能推導出當貨物中轉站建立在三角形區(qū)域內(nèi)，且到B，C兩點的距離均為

40 3

3

km時，修建的道路和總長度最短．

解答：解：（Ⅰ）設OB=x（km），延長AO交BC于D，
由題意知BD=DC=

1

2

BC=20，OB=OC，
OA=AD-OD=

AC2-DC2

-OD=20-OD，
在Rt△ODB中，OD=

OB2-DB2

=

x2-202

，
∴y=OA+OB+OC=2x+20-

x2-202

，20≤x≤20

2

．
（Ⅱ）∵y=2x+20-

x2-202

，
∴y′=2-

x

x2-202

，
∵20≤x≤20

2

，
∴x∈[20，

40 3

3

）時，y′0．
∴函數(shù)在x=

40 3

3

時，取得極小值，這個極小值是函數(shù)在[20，20

2

]上的最小值．

所以，當貨物中轉站建立在三角形區(qū)域內(nèi)，且到B，C兩點的距離均為

40 3

3

km時，修建的道路和總長度最短．

點評：本題考查導數(shù)在求最大值和求最小值中的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．