Question

已知向量

a

=(2cosθ，1)，

b

=(sinθ+cosθ，1)，- 

π

2

＜θ＜

π

2

（I）若

a

∥

b

，求θ的值
（II）設(shè)f（θ）=

a

•

b

，求函數(shù)f（θ）的最大值及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)條件，

a

∥

b

，，可得sinθ=cosθ，由此得tanθ=1，再由-

π

2

＜θ＜

π

2

，即可判斷出θ的值；
（II）由f（θ）=

a

•

b

及兩向量的坐標得到f（θ）的函數(shù)解析式，再由三角函數(shù)的最值的判斷出函數(shù)的最值，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（I）因為

a

∥

b

，，可得sinθ=cosθ，由此得tanθ=1，又-

π

2

＜θ＜

π

2

，故有θ=

π

4

（II）f（θ）=

a

•

b

=2sinθcosθ+2cos²θ+1=sin2θ+cos2θ+2=

2

sin（2θ+

π

4

）+2
因為θ∈(-

π

2

，

π

2

)，所以2θ+

π

4

∈(-

3π

4

，

5π

4

)
∴函數(shù)f（θ）的最大值為

2

+2，
令2kπ-

π

2

＜2θ+

π

4

＜2kπ+

π

2

解得θ∈(kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

)
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

)

點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算及三角函數(shù)的最值求法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的數(shù)量積的運算，平面向量數(shù)量積是考試的一個熱點，應注意總結(jié)其運算規(guī)律，三角函數(shù)的最值在近年的高考中出現(xiàn)的頻率也很高，在某些求最值的問題中，將問題轉(zhuǎn)化到三角函數(shù)中利用三角函數(shù)的有界性求函數(shù)最值，方便了求最值