【題目】已知函數(shù),
,
.
(1)若,求函數(shù)
的極值;
(2)若函數(shù)在
上單調(diào)遞減,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)在函數(shù)的圖象上是否存在不同的兩點
,使線段
的中點的橫坐標(biāo)
與直線
的斜率
之間滿足
?若存在,求出
;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) 取得極大值
,無極小值;(2)
;(3)詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)當(dāng)時,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的零點,并判斷零點兩側(cè)的單調(diào)性,求得極值;(2)根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為
,當(dāng)
時恒成立,采用參變分離的方法,得到
;(3)設(shè)點A,B的坐標(biāo),表示兩點連線的斜率,以及中點處的導(dǎo)數(shù),得到
,可將此式變形為關(guān)于
的函數(shù),轉(zhuǎn)化為判定函數(shù)是否有零點的問題.
試題解析:解:(1)的定義域為
,
,
故單調(diào)遞增;
單調(diào)遞減,
時,
取得極大值
,無極小值.
(2),
,
若函數(shù)在
上單調(diào)遞減,則
對
恒成立
∴,只需
∵時,
,則
,
,
故,
的取值范圍為
.
(3)假設(shè)存在,不妨設(shè),
由得
,整理得
令,
,
在
上單調(diào)遞增,
,故
,
不存在符合題意的兩點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)把
的圖象向右平移
個單位后,圖象恰好為函數(shù)
的圖象,則
的值可以是( )
A. B.
C.
D.
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【題目】已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點,焦點在
軸上,離心率為
,又橢圓上任一點到兩焦點的距離和為
.過右焦點
與
軸不垂直的直線
交橢圓于
,
兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)在線段上是否存在點
,使得
?若存在,求出
的取值范圍;若不存在,請
說明理由.
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【題目】統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量(升)關(guān)于行駛速度
(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為:
,已知甲、乙兩地相距100千米.
(1)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升?
(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,是否存在整數(shù)
,使不等式
恒成立?若存在,求整數(shù)
的值;若不存在,則說明理由;
(3)關(guān)于的方程
在
上恰有兩個相異實根,求實數(shù)
的取值范圍.
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【題目】某校90名專職教師的年齡狀況如下表:
年齡 | 35歲以下 | 35~50歲 | 50歲以上 |
人數(shù) | 45 | 30 | 15 |
現(xiàn)擬采用分層抽樣的方法從這90名專職教師中抽取6名老、中、青教師下鄉(xiāng)支教一年.
(Ⅰ)求從表中三個年齡段中分別抽取的人數(shù);
(Ⅱ)若從抽取的6個教師中再隨機(jī)抽取2名到相對更加邊遠(yuǎn)的鄉(xiāng)村支教,計算這兩名教師至少有一個年齡是35~50歲教師的概率。
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【題目】已知函數(shù)(
,
,
).
(1)若的部分圖像如圖所示,求
的解析式;
(2)在(1)的條件下,求最小正實數(shù),使得函數(shù)
的圖象向左平移
個單位后所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù);
(3)若在
上是單調(diào)遞增函數(shù),求
的最大值.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點
為極點,以
軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程,并說明其表示什么軌跡;
(2)若直線的極坐標(biāo)方程為,求直線被曲線
截得的弦長.
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【題目】對于無窮數(shù)列和函數(shù)
,若
,則稱
是數(shù)列
的母函數(shù).
(Ⅰ)定義在上的函數(shù)
滿足:對任意
,都有
,且
;又?jǐn)?shù)列
滿足
.
(1)求證: 是數(shù)列
的母函數(shù);
(2)求數(shù)列的前項
和
.
(Ⅱ)已知是數(shù)列
的母函數(shù),且
.若數(shù)列
的前
項和為
,求證:
.
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