Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）若，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；

（3）在函數(shù)的圖象上是否存在不同的兩點，使線段的中點的橫坐標(biāo)與直線的斜率之間滿足？若存在，求出；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） 取得極大值，無極小值;（2） ;（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的零點，并判斷零點兩側(cè)的單調(diào)性，求得極值；（2）根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時恒成立，采用參變分離的方法，得到；（3）設(shè)點A,B的坐標(biāo)，表示兩點連線的斜率，以及中點處的導(dǎo)數(shù)，得到，可將此式變形為關(guān)于的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為判定函數(shù)是否有零點的問題.

試題解析：解：（1）的定義域為,，

故單調(diào)遞增；單調(diào)遞減，

時，取得極大值，無極小值.

（2），，

若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則對恒成立

∴，只需

∵時，，則，，

故，的取值范圍為.

（3）假設(shè)存在，不妨設(shè)，

由得，整理得

令，，

在上單調(diào)遞增，

，故, 不存在符合題意的兩點.