Question

已知△ABC的面積為3，且滿足0≤

AB

•

AC

≤6，設(shè)

AB

和

AC

的夾角為θ．
（Ⅰ）求θ的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f(θ)=2sin2(

π

4

+θ)-

3

cos2θ的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的面積公式及向量的數(shù)量積公式求出面積和數(shù)量積代入已知求出θ的范圍．
（Ⅱ）利用三角函數(shù)的二倍角的余弦公式將f（θ）中的平方降冪，利用三角函數(shù)的和角公式化簡函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求出最值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c
則有

1

2

bcsinθ=3
0≤bccosθ≤6，
可得0≤cosθ≤sinθ，
∴θ∈[

π

4

，

π

2

]
（Ⅱ）f（θ）=2sin2(

π

4

+θ)-

3

cos2θ=[1-cos(

π

2

+2θ)]-

3

cos2θ
=(1+sin2θ)-

3

cos2θ=sin2θ-

3

cos2θ+1=2sin(2θ-

π

3

)+1
∴θ=

5π

12

時(shí)，f（θ）_max=3，
當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，f（θ）_min=2

點(diǎn)評：本題考查三角形的面積公式；向量的數(shù)量積公式；三角函數(shù)的二倍角公式；三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及和差角公式．