Question

已知向量

m

=(3sinA，cosA)，

n

=(

1

3

cosB，sinB)，

m

•

n

=sin2C，且A、B、C分別為△ABC三邊a、b、c所對(duì)的角．
（Ⅰ）求角C的大�。�
（Ⅱ）若sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，且

CA

•

CB

=18，求c的值．

Answer 1

分析：（1）首先由題意得到sinAcosB+cosAsinB=sin2C，由sin[180°-（A+B）]=sinC得出sinC=sin2C，進(jìn)而得到cosC=

1

2

，從而求出角C的度數(shù)；
（2）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，得出sin²C=sinAsinB，進(jìn)而求正弦定理得到c²=ab，由

CA

•

CB

=18能夠求得ab=36，即可求出c的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（3sinA，cosA），

n

=(

1

3

cosB，sinB)，

m

•

n

=sin2C
∴sinAcosB+cosAsinB=sin2C即sinC=sin2C（3分）
∵sinC≠0∴cosC=

1

2

又C為三角形的內(nèi)角，∴C=

π

3

（5分）
（Ⅱ）∵sinA，sinC，sinB成等比數(shù)列，∴sin²C=sinAsinB（6分）
∴c²=ab又

CA

•

CB

=18（7分）
∴abcosC=18（8分）
∴ab=36故c²=36∴c=6（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值、等比數(shù)列的性質(zhì)以及正弦定理等知識(shí)，在三角形中尤其要注意內(nèi)角和180°的靈活運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．