Question

 設(shè)函數(shù)，且，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求與的關(guān)系；

（2）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若在上至少存在一點，使得＞成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）由題意得   …………1分

                               

而，所以、的關(guān)系為              …………3分

（2）由（1）知，

                       …………4分

   令，要使在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，只需在內(nèi)滿足：恒成立.        …………5分

①當(dāng)時，，因為＞，所以＜0，＜0，

  ∴在內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，即適合題意；…………6分

②當(dāng)＞0時，，其圖像為開口向上的拋物線，對稱軸為，∴，只需，即，

∴在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，故適合題意.   …………7分

③當(dāng)＜0時，，其圖像為開口向下的拋物線，對稱軸為，只要，即時，在恒成立，故＜0適合題意.                     

綜上所述，的取值范圍為.       ……………………9分

（3）∵在上是減函數(shù)，

 ∴時，；時，，即，…10分

①當(dāng)時，由（2）知在上遞減＜2，不合題意；…………11分  

②當(dāng)0＜＜1時，由，

又由（2）知當(dāng)時，在上是增函數(shù)，

 ∴＜，不合題意；……………12分                                             

③當(dāng)時，由（2）知在上是增函數(shù)，＜2，又在上是減函數(shù)，

故只需＞，   ，而，，

即＞2，      解得＞ ，

綜上，的取值范圍是.                  ……………………14分