Question

函數f（x）=A（sin2ωxcos?+2cos²ωx•sin?）-Asin?（x∈R，A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

）的圖象在y軸右側的第一個最高點（即函數取得最大值的點）為P（

1

3

，2），在原點右側與x軸的第一個交點為Q（

5

6

，0）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求函數f（x）在區(qū)間[

21

4

，

23

4

]上的對稱軸的方程．

Answer 1

分析：（1）根據所給的三角函數的形式，利用二倍角公式把三角函數整理成y=Asin（2ωx+?），根據所給的兩個點，看出周期和振幅，代入一個點的坐標和初相的范圍求出初相，得到三角函數的解析式．
（2）根據正弦函數的對稱軸的表示形式，把πx+

π

6

等于對稱軸表示的形式，根據對稱軸要求的范圍，求出結果．

解答：解：（1）∵f（x）=A（sin2ωxcos?+2cos²ωx•sin?）-Asin?=Asin（2ωx+?），
∵圖象在y軸右側的第一個最高點為P（

1

3

，2），在原點右側與x軸的第一個交點為Q（

5

6

，0）．
∴A=2，

T

4

=

5

6

-

1

3

  
∴T=2  
∴2ω=

2π

T

=π
將點P(

1

3

，2)代入y=2sin（πx+φ）得：sin(

π

3

+φ)=1，即

π

3

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z
所以?=2kπ+

π

6

(k∈Z)，
∵|?|＜

π

2

∴?=

π

6

∴函數的表達式為f(x)=2sin(πx+

π

6

)(x∈R)
（2）根據正弦函數的對稱軸得到
πx+

π

6

=kπ+

π

2

(k∈z)
解得：x=k+

1

3

．
∵

21

4

≤k+

1

3

≤

23

4

，解得

59

12

≤k≤

65

12

由于k∈Z，所以k=5
所以函數f（x）在區(qū)間[

21

4

，

23

4

]上的對稱軸的方程為x=

16

3

．

點評：本題考查根據所給的確定三角函數的解析式，考查對三角函數進行恒等變形，考查三角函數的對稱性，本題解題的關鍵是確定三角函數的解析式，特別是對于初相的確定是一個難點，本題是一個中檔題目．