,(Ⅰ)求證：F(x)=
在(0,+∞)上是增函數；
(Ⅱ)設x1,x2∈(0,+∞),比較f(x1)+f(x2)與f(x1+x2)的大小，并證明你的結論；
(Ⅲ)設x1,x2,…xn∈(0,+∞),若n≥2,比較f(x1)+f(x2)+…f(xn)與f(x1+x2+…+xn)的大小，并證明你的結論.
解析：(Ⅰ)F′(x)=,∵f′(x)＞,x＞0,
∴xf′(x)＞f(x),∴F′(x)＞0,∴F(x)在(0,+∞)上是增函數.
(Ⅱ)∵0＜x1＜x1+x2,∴F(x1)＜F(x1+x2).
即
＜
,∴(x1+x2)f(x1)＜x1f(x1+x2).
同理(x1+x2)f(x2)＜x2f(x1+x2),
∴f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2).
(Ⅲ)當n=2時，f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2)成立,
假設當n=k時，f(x1)+f(x2)+…+f(xk)＜f(x1+x2+…+xk)成立.
那么f(x1)+f(x2)+…+f(xk)+f(xk+1)＜f(x1+x2+…+xk)+f(xk+1)＜f(x1+x2+…+xk+1)成立.
∴當n=k+1時也成立，
當n≥2時,
∴f(x1)+f(x2)+…+f(xn)＜f(x1+x2+…+xn).
科目：高中數學 來源： 題型：
①f(x)=2x； ②f(x)=x2+1；
③f(x)=
(sinx+cosx)； ④f(x)=
;
其中是F函數的函數有____________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
①f(x)=2x； ②f(x)=x2+1；
③f(x)=
(sinx+cosx)； ④f(x)=
；
其中是F函數的函數有____________．
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