Question

用數學歸納法證明

1

2

+cosα+cos3α+…+cos（2n-1）α=

sin 2n+1 2 a•cos 2n-1 2 a

sina

（k∈Z^*，α≠kπ，n∈N₊），在驗證n=1時，左邊計算所得的項是

1

2

+cosα

．

Answer 1

分析：由等式

1

2

+cosα+cos3α+…+cos（2n-1）α=

sin 2n+1 2 a•cos 2n-1 2 a

sina

，當n=1時，2n-1=1，而等式左邊起始為

1

2

的，后面再加上α的連續(xù)的正整數倍的余弦值的和，由此易得答案．

解答：解：在等式

1

2

+cosα+cos3α+…+cos（2n-1）α=

sin 2n+1 2 a•cos 2n-1 2 a

sina

中，
當n=1時，2n-1=1，
而等式左邊起始為

1

2

的，后面再加上α的連續(xù)的正整數倍的余弦值的和，
故n=1時，等式左邊的項為：

1

2

+cosα，
故答案為：

1

2

+cosα．

點評：本題考查的知識點是數學歸納法的步驟，在數學歸納法中，第一步是論證n=1時結論是否成立，此時一定要分析等式兩邊的項，不能多寫也不能少寫，否則會引起答案的錯誤．解此類問題時，注意n的取值范圍．