Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n與a_n滿足：S_n=1-na_n（n∈N^*），求{a_n}的通項(xiàng)公式．（注意：本題用數(shù)學(xué)歸納法做，其它方法不給分）

Answer 1

由題意，a₁=S₁=1-a₁，∴a1=

1

2

=

1

1×2

a₂=S₂-S₁=（1-2a₂）-（1-a₁），∴a2=

1

6

=

1

2×3

猜想an=

1

n(n+1)

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
（1）n=1時，結(jié)論成立；
（2）假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即ak=

1

k(k+1)

，
則n=k+1時，a_k+1=S_k+1-S_k=[1-（k+1）a_k+1]-[1-k•

1

k(k+1)

]，
∴ak=

1

(k+1)[(k+1)+1]

即猜想成立
∴an=

1

n(n+1)

成立．