Question

規(guī)定A_x^m=x（x-1）（x-2）•…•（x-m+1），其中x∈R，m∈N*．
函數(shù)f（x）=aA_x+1³+3bA_x²+1（ab≠0）在x=1處取得極值，在x=2處的切線的平行向量為

OP

=(b+5，5a)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）是否存在正整數(shù)m，使得方程f(x)=6x-

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3

在區(qū)間（m，m+1）內(nèi)有且只有兩個不等實根？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用定義求出f（x）=a（x+1）x（x-1）+3bx（x-1）+1，再利用x=1處取得極值，在x=2處的切線的平行向量為

OP

=(b+5，5a)求出a，b即可；
（2）先求導函數(shù)，利用導函數(shù)大于0的區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間，以及導函數(shù)小于0的區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）先把方程f(x)=6x-

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3

等價于g（x）=18x³-36x²+19=0．在求出g（x）的導函數(shù)，判斷出g（x）的圖象變化規(guī)律，再利用零點存在性定理即可判斷是否存在正整數(shù)m滿足要求．

解答：解：（1）由已知f（x）=a（x+1）x（x-1）+3bx（x-1）+1=ax³+3bx²-（a+3b）x+1，
∴f'（x）=3ax²+6bx-（a+3b）
∴

f′(1)=0 f′(2)= 5a b+5

解得

a=6 b=-4

∴f（x）=6x³-12x²+6x+1．
（2）∵f'（x）=18x²-24x+6=6（3x-1）（x-1）
由f'（x）＞0得，x＞1或x＜

1

3

，即f（x）在（1，+∞）和（-∞，

1

3

）上單調(diào)遞增，
由f'（x）＜0得，

1

3

＜x＜1，即f（x）在（

1

3

，1）上單調(diào)遞減．
（3）方程f(x)=6x-

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3

等價于18x³-36x²+19=0．
令g（x）=18x³-36x²+19．
則g'（x）=54x²-72x=18x（3x-4）令g'（x）=0得x=0或x=

4

3

．
當x∈（0，

4

3

）時，g'（x）＜0，g（x）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當x∈（

4

3

，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)；
∵g（1）=1＞0，g（

4

3

）=-

7

3

＜0，g（2）=19＞0，
∴方程g（x）=0在區(qū)間（1，

4

3

），（

4

3

，2）內(nèi)分別有唯一實根．
∴存在正整數(shù)m=1使得方程f(x)=6x-

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3

在區(qū)間（1，2）上有且只有兩個不相等的實數(shù)跟．

點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應用以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和平面向量的有關知識．是對知識的一個大匯總，屬于有難度的題．