Question

【題目】如圖所示，在正方體中，、分別為和的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線與面所成的角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，利用中位線的性質(zhì)證明出，然后利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；

（2）設(shè)正方體的棱長為，取的中點(diǎn)，連接，證明出平面，可得出直線與平面所成的角為，然后計(jì)算出的三邊邊長，然后利用銳角三角函數(shù)的定義可求出，即為直線與面所成的角的余弦值．

（1）如下圖所示，連接，

、分別為和的中點(diǎn)，，

平面，平面，平面；

（2）如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為，取的中點(diǎn)，連接，

、分別為、的中點(diǎn)，則，且，

在正方體中，平面，平面，

直線與平面所成的角為，由勾股定理得，

平面，平面，，

，

在中，.

因此，直線與面所成的角的余弦值為.