Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠B=90°，D為棱BB₁上一點(diǎn)，且平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅰ）求證：D點(diǎn)為棱BB₁的中點(diǎn)；
（Ⅱ）判斷四棱錐A₁-B₁C₁CD和C-A₁ABD的體積是否相等，并證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）過點(diǎn)D作DE⊥A₁C于E點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)F，連BF，EF，推出DB=EF=

1

2

AA1=

1

2

BB1，即可證明D點(diǎn)為棱BB₁的中點(diǎn)；
（Ⅱ）求出四棱錐A₁-B₁C₁CD的底面面積和高，再計(jì)算C-A₁ABD的體積，即可判斷體積相等．

解答：解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥A₁C于E點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)F，連BF，EF．
∵面DA₁C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁C，面DA₁C內(nèi)的直線DE⊥A₁C，
∴DE⊥面AA₁C₁C．（3分）
又∵面BAC⊥面AA₁C₁C且相交于AC，且△ABC為等腰三角形，易知BF⊥AC，
∴BF⊥面AA₁C₁C．由此知：DE∥BF，從而有D，E，F(xiàn)，B共面，又易知BB₁∥面AA₁C₁C，
故有DB∥EF，從而有EF∥AA₁，又點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，
所以DB=EF=

1

2

AA1=

1

2

BB1，所以D點(diǎn)為棱BB₁的中點(diǎn)．（6分）

（2）相等．ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，
又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，
∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）
∴VA1-B1C1CD=

1

3

SB1C1CD•A1B1=

1

3

×

1

2

(B1D+CC1)×B1C1×A1B1VC-A1ABD=

1

3

SA1ABD•BC=

1

3

×

1

2

(BD+AA1)×AB×BC
∵D為BB₁中點(diǎn)，
∴VA1-B1C1CD=VC-A1ABD（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．