Question

20.已知函數(shù)f(x)＝.

（1）證明f(x)是奇函數(shù)；并求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

（2）分別計算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)·g(3)的值，由此概括出涉及函數(shù)f(x)和g(x)的對所有不等于零的實數(shù)x都成立的一個等式，并加以證明.

Answer 1

20.

解：(1)∵函數(shù)f(x)的定義域(－∞，0)∪(0，+∞)關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又f(－x)＝＝－f(x)，

∴f(x)是奇函數(shù).                                                                          

設(shè)x₁＜x₂，x₁、x₂∈(0，+∞).

 

f(x₁)－f(x₂)＝，

∵＜0，1+＞0，

∴f(x₁)－f(x₂)＜0，

f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

又∵f(x)是奇函數(shù)，

∴f(x)在(－∞，0)上也單調(diào)遞增.                                                 

 

(2)算得f(4)－5f(2)g(2)＝0，

 f(9)－5f(3)g(3)＝0，

由此概括出對所有不等于零的實數(shù)x有：

f(x²)－5f(x)g(x)＝0.                                                                        

f(x²)－5f(x)g(x)

＝－5··

＝0.