Question

設(shè)點(diǎn)P是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），且

AP

=m

AB

+

nAC

，m，n∈R，則m²+（n-2）²的取值范圍為（　�。�

• A、(1，

  5

  )
• B、（1，5）
• C、(

  1

  2

  ，5)
• D、(

  2

  2

  ，

  5

  )

Answer 1

分析：根據(jù)點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），向量加法的平行四邊形法則得m，n的范圍，據(jù)兩點(diǎn)距離公式賦予

m2+(n-2)2

幾何意義，用線性規(guī)劃求出最值．

解答：解：∵點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，

AP

=m

AB

+n

AC

，
∴

m＞0 n＞0 m+n＜1

，
∵在直角坐標(biāo)系mon內(nèi)，

m2+(n-2)2

表示平面區(qū)域

m＞0 n＞0 m+n＜1

內(nèi)的點(diǎn)（m，n）到點(diǎn)（0，2）的距離．
∴數(shù)形結(jié)合知（0，2）到（0，1）的距離最小，到（1，0）的距離最大
∴最小距離為1，最大距離為

(0-1)2+(2-0)2

=

5

m²+（n-2）²的取值范圍是 （1，5）；
故選B．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的基本定理及其意義、兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用、線性規(guī)劃即數(shù)性結(jié)合求最值．