Question

如圖，ABCD是邊長為3正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（1）設(shè)點M是線段BD上一點，且BD=3BM，證明：AM∥平面BEF；
（2）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BE上的三等分點N，使3BN=BE，連接MN，NF，利用三角形內(nèi)分線段成比例定理的逆定理即可得出MN，從而得到，得到平行四邊形AMNF，可得AM∥FN，再利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）由圖可得V_多面體ABCDEF=V_B-ADEF+V_E-DBC．利用線面垂直的性質(zhì)和四棱錐、三棱錐的  體積計算公式即可得出．
解答：（1）證明：取BE上的三等分點N，使3BN=BE，連接MN，NF，
∵BD=3BM，∴=．
∴DE∥MN，且DE=3MN，
∵AF∥DE，且DE=3AF，
∴AF∥MN，且AF=MN，
故四邊形AMNF是平行四邊形．
∴AM∥FN，
∵AM?平面BEF，F(xiàn)N?平面BEF，
∴AM∥平面BEF． 
（2）解：∵DE⊥平面ABCD，∴BD為BE在平面ABCD上的射影，
∴∠EBD=60°，∴在Rt△BDE中，可得DE=BDtan60°=．
∵DE⊥平面ABCD，
∴平面ADEF⊥平面ABCD，且交線為AD
又AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF，即BA為四棱錐BADEF的高．
∵ADEF是直角梯形，∴==．
∴=．
又=．
∴V_多面體ABCDEF=V_B-ADEF+V_E-DBC=．
點評：熟練掌握三角形內(nèi)分線段成比例定理的逆定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、線面垂直的性質(zhì)、面面垂直的判定與性質(zhì)定理、四棱錐與三棱錐的體積計算公式是解題的關(guān)鍵．