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        1. 已知定義在R上的函數(shù)f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a,b,c,d∈R )的圖象關于原點對稱,且x=1時,f(x)取極小值-
          25

          (Ⅰ)求f(x)的解析式;
          (Ⅱ)當x∈[-1,1]時,圖象舊否存在兩點,使得此兩點處的切線互相垂直?試證明你的結論.
          分析:(Ⅰ)根據(jù)“定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱“得出奇偶性,再判斷b,d的值,再有在1處的極值求出a,c.
          (Ⅱ)用反證法證明.對于存在性問題,可先假設存在,即假設x軸上存在滿足條件的點C(x0,0),再利用導數(shù)的幾何意義,求出不等關系,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設不成立,即不存在;否則存在.
          解答:解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱,
          ∴f(0)=0,即4d=0,∴d=0
          又f(-1)=-f(1),
          即-a-2b-c=-a+2b-c,∴b=0
          ∴f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c.
          ∵x=1時,f(x)取極小值-
          2
          5
          ,
          ∴3a+c=0且 a+c=-
          2
          5

          解得a=
          1
          5
          ,c=-
          3
          5

          ∴f(x)=
          1
          5
          x3-
          3
          5
          x

          (Ⅱ)當x∈[-1,1]時,圖象上不存在這樣的兩點使得結論成立.
          假設圖象上存在兩點A(x1,y1),B(x2,y2),使得過此兩點處的切線互相垂直,
          則由f′(x)=
          3
          5
          (x2-1)知兩點處的切線斜率分別為
          k1=
          3
          5
          (
          x
          2
          1
          -1)
          ,k2=
          3
          5
          (
          x
          2
          2
          -1)
          ,且
          9
          25
          (
          x
          2
          1
          -1)(
          x
          2
          2
          -1)
          =1             (*)
          ∵x1,x2∈[-1,1],
          x
          2
          1
          -1≤0,
          x
          2
          2
          -1≤0
          ∴(
          x
          2
          1
          -1)(
          x
          2
          2
          -1)≥0 此與(*)矛盾,故假設不成立
          點評:該題考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)奇偶性對應的奇數(shù)次項系數(shù)的值以及偶數(shù)次項系數(shù)的值,考查反證法的使用,考查兩數(shù)之間最值之差最大,為中檔題.
          練習冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足下列條件:
          ①對任意的x∈R都有f(x+2)=f(x);
          ②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
          ③y=f(x+1)是偶函數(shù),
          則下列不等式中正確的是( 。

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)=
          f(x-1)-f(x-2),x>0
          log2(1-x),       x≤0
            則:
          ①f(3)的值為
          0
          0
          ,
          ②f(2011)的值為
          -1
          -1

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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          1,(-1<x≤0)
          -1,(0<x≤1)
          ,則f(3)=( 。

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù),對x∈R都有f(2+x)=f(2-x),當f(-3)=-2時,f(2013)的值為( 。
          A、-2B、2C、4D、-4

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)f(x),對任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函數(shù)y=f(x+1)的圖象關于直線x=-1對稱,則f(2013)=( 。
          A、0B、2013C、3D、-2013

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