Question

20.

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).

   （1）證明：D₁E⊥A₁D;

   （2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD₁的距離；

   （3）AE等于何值時(shí)，二面角D₁—EC－D的大小為.

Answer 1

20.解法（一）

（1）證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴D₁E⊥A₁D

（2）設(shè)點(diǎn)E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，

∴∠DHD₁為二面角D₁—EC—D的平面角.

設(shè)AE=x，則BE=2－x

解法（二）：建立空間直角坐標(biāo)系,令D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD₁分別為x,y,z軸，設(shè)AE=x，有A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

即DA₁⊥D₁E.

（2）因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則

，所以點(diǎn)E到平面AD₁C的距離為

（3）設(shè)平面D₁EC的法向量

∴

由

令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依題意

∴（不合，舍去），

∴AE=時(shí)，二面角D₁—EC—D的大小為.