Question

【題目】設(shè)命題：對(duì)任意的， 恒成立，其中．

（1）若，求證：命題為真命題．

（2）若命題為真命題，求的所有值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）， 的值均唯一，分別為1，0．

【解析】試題分析：（1）若a=1，b=0，則命題p：對(duì)任意的， 恒成立．構(gòu)造函數(shù)， ， ， ．求導(dǎo)可證明.

（2）若命題為真命題，則當(dāng)時(shí)， ，所以，對(duì)a分, 討論，可得滿足條件的a值．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，命題：對(duì)任意的， 恒成立．

①記， ．

則，所以為上的單調(diào)增函數(shù)．

所以，即任意的， ．

②記， ．

則，故為上的單調(diào)增函數(shù)．

所以，即任意的， ．

所以，命題為真命題．

（2）若命題為真命題，則當(dāng)時(shí)， ，所以．

此時(shí)，對(duì)任意的， 恒成立．（＊）

若，記， ．

則在上有唯一解，記為．

當(dāng)時(shí)， ，所以為上的單調(diào)減函數(shù)．

故， ，即，與（＊）矛盾，舍．

若，記， ．

則在上有唯一解，記為．

當(dāng)時(shí)， ，所以為上的單調(diào)減函數(shù)．

故， ，即，與（＊）矛盾，舍．

從而，所以， 的值均唯一，分別為1，0．