Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知向量m=（a，3b-c），n=（cosA，cosC），滿足m∥n，
（Ⅰ）求cosA的大小；
（Ⅱ）求sin2

B+C

2

-2sin(A-

π

4

)sin(A+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)平面向量平行的性質(zhì)求得acosC=（3b-c）cosA，利用兩角和的公式對其進行化簡，求得cosA的值．
（Ⅱ）先利用二倍角公式和兩角和公式對原式化簡整理，把（1）中求得cosA求得代入即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）由

m

∥

n

得acosC=（3b-c）cosA，
由正弦定理得sinAcosC=（3sinB-sinC）cosA，
即sinAcosC+sinCcosA=3sinBcosA，
∴sin（A+C）=3sinBcosA，
∵△ABC中，A+C=π-B，
∴sin（π-B）=3sinBcosA，
即sinB=3sinBcosA
∵B∈（0，π）sinB≠0，
∴cosA=

1

3

．
（Ⅱ）sin2

B+C

2

-2sin(A-

π

4

)sin(A+

π

4

)
=sin2

π-A

2

-2(

2

2

sinA-

2

2

cosA)(

2

2

sinA+

2

2

cosA)
=cos2

A

2

-(sin2A-cos2A)
=

1+cosA

2

+2cos2A-1
=

1+ 1 3

2

+2(

1

3

)2-1
=-

1

9

．

點評：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，二倍角公式和兩角和公式化簡．考查了考生綜合分析問題的能力和基礎(chǔ)知識的綜合運用．