【題目】若函數(shù)
在區(qū)間
上恰好有一個零點(diǎn)，則
的最小值為______.
【答案】
【解析】
將函數(shù)
在區(qū)間
，
上有一個零點(diǎn)等價于方程
在區(qū)間，上恰有一個根，也即是函數(shù)
和函數(shù)
的圖象在區(qū)間
上恰好有一個交點(diǎn)，由二次函數(shù)得出函數(shù)
的值域，令
，再分當(dāng)
時，當(dāng)
時，兩種情況下兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況得出
的范圍，根據(jù)雙勾函數(shù)可求得
的最小值.
依題意，函數(shù)在區(qū)間，上有一個零點(diǎn)等價于方程在區(qū)間，上恰有一個根，
函數(shù)和函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰好有一個交點(diǎn)，
函數(shù)關(guān)于
對稱，在上有最小值
，
時，
，
，
函數(shù)，令，
當(dāng)時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知單調(diào)遞減，當(dāng)
時，
，
所以函數(shù)和函數(shù)的圖象在區(qū)間上無交點(diǎn)，
當(dāng)時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知單調(diào)遞增，如圖，
由圖可知，當(dāng)
，
時，函數(shù)圖象恰好有1個交點(diǎn)，
此時
，解得
，
因?yàn)?/span>
在
上單調(diào)遞增，所以
，即的最小值為，
故答案為：.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2022年北京冬奧運(yùn)動會即第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會將在2022年2月4日至2月20日在北京和張家口舉行，某研究機(jī)構(gòu)為了了解大學(xué)生對冰壺運(yùn)動的興趣，隨機(jī)從某大學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)男生與女生的人數(shù)比為
，男生中有20人表示對冰壺運(yùn)動有興趣，女生中有15人對冰壺運(yùn)動沒有興趣.
（1）完成
列聯(lián)表，并判斷能否有
把握認(rèn)為“對冰壺運(yùn)動是否有興趣與性別有關(guān)”？
有興趣 | 沒有興趣 | 合計(jì) | |
男 | 20 | ||
女 | 15 | ||
合計(jì) | 100 |
（2）用分層抽樣的方法從樣本中對冰壺運(yùn)動有興趣的學(xué)生中抽取6人，求抽取的男生和女生分別為多少人？若從這6人中選取兩人作為冰壺運(yùn)動的宣傳員，求選取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率.
附：
，其中
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，側(cè)面
為邊長為
的菱形，側(cè)面
為矩形，其中
且
，
平面，點(diǎn)
為
的中點(diǎn)．
（1）證明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知某種新型病毒的傳染能力很強(qiáng)，給人們生產(chǎn)和生活帶來很大的影響，所以創(chuàng)新研發(fā)疫苗成了當(dāng)務(wù)之急.為此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場上這種新型冠狀病毒的疫苗
的研發(fā)費(fèi)用
（百萬元）和銷量
（萬盒）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：
研發(fā)費(fèi)用 | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 14 |
銷量 | 1 | 1 | 2 | 2.5 | 4 | 4.5 |
（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程
（用分?jǐn)?shù)表示）；
（2）根據(jù)所求的回歸方程，估計(jì)當(dāng)研發(fā)費(fèi)用為1600萬元時，銷售量為多少？
參考公式：
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】遼寧省六校協(xié)作體（葫蘆島第一高中、東港二中、鳳城一中、北鎮(zhèn)高中、瓦房店高中、丹東四中）中的某校文科實(shí)驗(yàn)班的
名學(xué)生期中考試的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于分，其中語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，成績分組區(qū)間是：
、
、
、
、
．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這名學(xué)生語文成績的中位數(shù)和平均數(shù)；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表；中位數(shù)精確到
）
（2）若這名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)
與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)
之比如下表所示：
分組區(qū)間 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
從數(shù)學(xué)成績在
的學(xué)生中隨機(jī)選取
人，求選出的人中恰好有
人數(shù)學(xué)成績在的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點(diǎn)為
為
上位于第一象限的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)
的直線
交
于另一點(diǎn)
，交
軸的正半軸于點(diǎn)
.
（1）若當(dāng)點(diǎn)
的橫坐標(biāo)為
，且
為等腰三角形，求
的方程；
（2）對于（1）中求出的拋物線
，若點(diǎn)
，記點(diǎn)
關(guān)于
軸的對稱點(diǎn)為
交
軸于點(diǎn)
，且
，求證：點(diǎn)
的坐標(biāo)為
，并求點(diǎn)
到直線
的距離
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某保險公司給年齡在
歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險，現(xiàn)從
名參保人員中隨機(jī)抽取
名作為樣本進(jìn)行分析，按年齡段
分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示；參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示. 據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬元.
年齡 （單位：歲） |
|
|
|
|
|
保費(fèi) （單位：元） |
|
|
|
|
|
（1）用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，為使公司不虧本，求
精確到整數(shù)時的最小值
；
（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在
之間老人每
人中有
人患該項(xiàng)疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費(fèi)為
元，如果參保，保險公司補(bǔ)貼治療費(fèi)元.某老人年齡
歲，若購買該項(xiàng)保險(取
中的).針對此疾病所支付的費(fèi)用為
元；若沒有購買該項(xiàng)保險，針對此疾病所支付的費(fèi)用為
元.試比較和的期望值大小，并判斷該老人購買此項(xiàng)保險是否劃算？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓
的離心率為
，左右焦點(diǎn)分別是
和
，以為圓心，3為半徑的圓與以為圓心，1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上.
（1）求橢圓C的方程.
（2）設(shè)橢圓
，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線
交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，射線OP交橢圓E于點(diǎn)Q.
①判斷
是否為定值？若是定值求出該定值，若不是定值說明理由.
②求
面積的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線
（
為參數(shù)），直線
（
為參數(shù)， 
），直線
與曲線
相切于點(diǎn)
，以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn)，
軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
（1）求曲線的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）曲線
的直角坐標(biāo)方程為
，直線
的極坐標(biāo)方程為
，直線與曲線交于在
，
兩點(diǎn)，記
的面積為
，
的面積為
，求
的值.
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