【題目】排成一排的10名學(xué)生生日的月份均不相同.有
名教師，依次挑選這些學(xué)生參加個興趣小組，每名學(xué)生恰被一名教師挑選，且保持學(xué)生的排序不變，每名教師挑出的學(xué)生必須滿足生日的月份是逐漸增加或逐漸減少的（挑選一名或兩名學(xué)生也認(rèn)為是逐漸增加或逐漸減少的），每名教師盡可能多地選學(xué)生.對于學(xué)生所有可能的排序，求的最小值.
【答案】4
【解析】
若
，不妨設(shè)這10名學(xué)生生日的月份分別為
.
當(dāng)學(xué)生按生日排序為4,3,2,1,7,6,5,9,8,10時，存在一名教師至少要挑選前四名學(xué)生中的兩名，由于這兩名學(xué)生生日的月份是逐漸減少的，且后六名學(xué)生生日的月份均大于前四名學(xué)生生日的月份，因此，這名教師不可能再挑選后六名學(xué)生；在余下的不超過兩名教師中，一定存在一名教師至少要挑選第五名至第七名學(xué)生中的兩名.同理，這名教師不可能再挑選后三名學(xué)生；余下的不超過一名教師也不可能挑選后三名學(xué)生，矛盾.
下面證明：對于互不相同的有序?qū)崝?shù)列
，當(dāng)
時，一定存在三個數(shù)
滿足
或
.
設(shè)最大數(shù)、最小數(shù)分別為
、
.
不妨設(shè)
.
若
，則
滿足
；
.
因為，所以，要么在
的前面，要么在的后面至少有兩個數(shù).
不妨設(shè)在的后面有兩個數(shù)
.從而，
與
中一定有一個成立.
引用上面的結(jié)論，當(dāng)
時，第一名教師至少可以挑選3名學(xué)生；若余下的學(xué)生大于或等于5名，則第二名教師也至少可以挑選3名學(xué)生；這時，剩下的學(xué)生的數(shù)目不超過4名，可以被兩名教師全部挑選.
因此，
的最小值為4.
陽光課堂課時優(yōu)化作業(yè)系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）當(dāng)
時，求
的單調(diào)區(qū)間.
（2）試問：是否存在實數(shù)
，使得
對
恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某品牌手機(jī)廠商推出新款的旗艦機(jī)型，并在某地區(qū)跟蹤調(diào)查得到這款手機(jī)上市時間（第
周）和市場占有率（
）的幾組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：
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（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出
關(guān)于的線性回歸方程
；
（2）根據(jù)上述線性回歸方程，預(yù)測在第幾周，該款旗艦機(jī)型市場占有率將首次超過
（最后結(jié)果精確到整數(shù)）．
參考公式：
，
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對于正整數(shù)集合
，如果任意去掉其中一個元素
之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合
為“可分集合”.
（1）判斷集合
和
是否是“可分集合”（不必寫過程）；
（2）求證：五個元素的集合
一定不是“可分集合”；
（3）若集合是“可分集合”.
①證明：
為奇數(shù)；
②求集合中元素個數(shù)的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）當(dāng)
時，求
的最大值；
（2）若函數(shù)
為偶函數(shù)，求
的值；
（3）設(shè)函數(shù)
，若對任意
，存在
，使得
，求的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知公差不等于
的正項等差數(shù)列
的前
項和為
，遞增等比數(shù)列
的前項和為
，
，
，
，
.
（1）求滿足
，
的
的最小值；
（2）求數(shù)列
的前項和
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖橢圓
的離心率為
， 其左頂點
在圓
上.
（1）求橢圓
的方程；
（2）直線
與橢圓的另一個交點為
，與圓
的另一個交點為
.是否存在直線，使得
？ 若存在，求出直線的斜率；若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，AB＝
AD，E是線段PD上的點，F是線段AB上的點，
且
．
(1)證明：EF∥平面PBC；
(2)是否存在實數(shù)λ，使得異面直線EF與CD所成角為60°？若存在，試求出λ的值，若不存在，請說明理由．
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