Question

（本題12分）
如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L垂直直線AB。點(diǎn)P是圓O上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別交L與M、N點(diǎn)。

（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點(diǎn)。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為， MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為。
以MN為直徑的圓截x軸的線段長(zhǎng)度為
為定值。∴⊙必過⊙O 內(nèi)定點(diǎn)。

解析試題分析：建立直角坐標(biāo)系，⊙O的方程為，……2分
直線L的方程為。
（Ⅰ）∵∠PAB=30°，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
∴，。將x=4代入，得。
∴MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），MN=�！嘁訫N為直徑的圓的方程為。
同理，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，所求圓的方程仍是�！�…6分
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴（），∴。
∵，將x=4代入，得，
。∴，MN=。
MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為。……10分
以MN為直徑的圓截x軸的線段長(zhǎng)度為
為定值。∴⊙必過⊙O 內(nèi)定點(diǎn)�！�…12分
考點(diǎn)：圓的方程的求法；直線與圓的位置關(guān)系；直線方程的點(diǎn)斜式。
點(diǎn)評(píng)：要求圓的方程，只需確定圓心和半徑即可。本題的計(jì)算量較大，在計(jì)算的過程中一定要仔細(xì)、認(rèn)真，避免出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。