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        1. 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=3,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且DE∥BC,DE=4,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.
          (1)求證:A1C⊥平面BCDE;
          (2)過點(diǎn)E作截面EFH∥平面A1CD,分別交CB于F,A1B于H,求截面EFH的面積;
          (3)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE成600的角?說明理由.
          分析:(1)證明DE⊥平面A1CD,可得A1C⊥DE,利用A1C⊥CD,CD∩DE=D,即可證明A1C⊥平面BCDE;
          (2)過點(diǎn)E作EF∥CD交BC于F,過點(diǎn)F作FH∥A1C交A1B于H,連結(jié)EH,則截面EFH∥平面A1CD,從而可求截面EFH的面積;
          (3)假設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE成60°的角,建立坐標(biāo)系,利用向量知識,結(jié)合向量的夾角公式,即可求出結(jié)論.
          解答:(1)證明:∵CD⊥DE,A1D⊥DE,CD∩A1D=D,
          ∴DE⊥平面A1CD.
          又∵A1C?平面A1CD,∴A1C⊥DE.
          又A1C⊥CD,CD∩DE=D,
          ∴A1C⊥平面BCDE…(4分)
          (2)解:過點(diǎn)E作EF∥CD交BC于F,過點(diǎn)F作FH∥A1C交A1B于H,連結(jié)EH,則截面EFH∥平面A1CD.
          因?yàn)樗倪呅蜤FCD為矩形,所以EF=CD=1,CF=DE=4,從而FB=2,HF=
          1
          3
          A1C=
          3
          3

          ∵A1C⊥平面BCDE,F(xiàn)H∥A1C,
          ∴HF⊥平面BCDE,∴HF⊥FE,
          S△HFE=
          3
          6
          .…(8分)
          (3)解:假設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE成60°的角.
          設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0,0),則a∈[0,6].
          如圖建系C-xyz,則D(0,1,0),A(0 ,  0 ,  
          3
          )
          ,B(6,0,0),E(4,1,0).
          A1B
          =(6,0,-
          3
          )
          ,
          BE
          =(-2 ,1,0)

          設(shè)平面A1BE法向量為
          n
          =(x ,  y ,  z)
          ,
          A1B
          n
          =0
          BE
          n
          =0
          6x-
          3
          z=0
          -2x+y=0
          z=2
          3
          x
          y=2x
          ,∴
          n
          =(1,2,2
          3
          )

          設(shè)平面A1DP法向量為
          n1
          =(x1 ,  y1 ,  z1)
          ,因?yàn)?span id="crzpgao" class="MathJye">
          A1P
          =(a,0  -
          3
          ),
          DP
          =(a, -1,0)

          ax1-
          3
          z1=0
          ax1-y1=0
          ,∴
          z1=
          3
          3
          ax1
          y1=ax1
          ,∴
          n1
          =(3, 3a, 
          3
          a)

          cos<
          n1
          n
          >=
          n1
          n
          |
          n1
          |•|
          n
          |
          =
          3a+12
          17
          12a2+9
          =
          1
          2
          ,∴5656a2-96a-141=0,
          解得a=
          24±
          717
          28

          ∵0<a<,6∴a=
          24+
          717
          28

          所以存在線段BC上存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE成60°的角.…(12分)
          點(diǎn)評:本題考查線面平行,考查線面角,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
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          精英家教網(wǎng)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D為BC上一點(diǎn),∠DAC=30°,BD=2,AB=2
          3
          ,則AC的長為( 。
          A、2
          2
          B、3
          C、
          3
          D、
          3
          2
          3

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          (1)求證:點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn);
          (2)若EC=3,BD=2
          6
          ,求⊙O的直徑AC的長度.

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          (1)若AE=CD,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),求證:直線MP∥平面EAB
          (2)若AE=2,CD=1,求銳二面角E-BC-A的平面角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          8.如圖,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC=
          2
          2
          .DO⊥AB于O點(diǎn),OA=OB,DO=2,曲線E過C點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng),且保持|PA|+|PB|的值不變.
          (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線E的方程;
          (2)過D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M、N且M在D、N之間,設(shè)
          DM
          DN
          =λ,試確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在Rt△ABC中,AC=1,BC=x,D是斜邊AB的中點(diǎn),將△BCD沿直線CD翻折,若在翻折過程中存在某個(gè)位置,使得CB⊥AD,則x的取值范圍是( 。
          A、(0,
          3
          ]
          B、(
          2
          2
          ,2]
          C、(
          3
          ,2
          3
          ]
          D、(2,4]

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