Question

已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S₃=

3

2

，S₆=

21

16

，b_n=λa_n-n²．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等比數(shù)列的求和公式列方程可求得q，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）由于b_n=2λ(-

1

2

)n-1-n²，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，b_n+1＜b_n，可得6λ(-

1

2

)n＜2n+1對(duì)任意n∈N^*恒成立，對(duì)n分奇數(shù)與偶數(shù)討論即可求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵S₃=

3

2

，S₆=

21

16

，
∴q≠1，
∴

a1(1-q3)

1-q

=

3

2

，

a1(1-q6)

1-q

=

21

16

，
得：1+q³=

7

8

，
∴q=-

1

2

，a₁=2．
∴a_n=2×(-

1

2

)n-1．
（Ⅱ）∵b_n=λa_n-n²，
∴b_n=2λ(-

1

2

)n-1-n²，
由題意可知對(duì)任意n∈N^*，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，
∴b_n+1＜b_n，
即2λ(-

1

2

)n-（n+1）²＜=2λ(-

1

2

)n-1-n²，
即6λ(-

1

2

)n＜2n+1對(duì)任意n∈N^*恒成立，
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，λ＞-

(2n+1)2n

6

，當(dāng)n=1時(shí)，-

(2n+1)2n

6

取得最大值-1，故λ＞-1；
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，λ＜

(2n+1)2n

6

，當(dāng)n=2時(shí)，

(2n+1)2n

6

取得最小值

10

3

，故λ＜

10

3

．
綜上可知，-1＜λ＜

10

3

，即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-1，

10

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的函數(shù)特性，在（Ⅱ）中，求得“6λ(-

1

2

)n＜2n+1對(duì)任意n∈N^*恒成立”是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查綜合分析與運(yùn)算的能力，屬于難題．