Question

某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°
（I）試從上述三個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個三角恒等式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）選擇（2）求常數(shù)相對容易，可直接利用二倍角正弦公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系結(jié)合特殊角三角函數(shù)值求得答案．
（II）根據(jù)（I）的計算結(jié)果，可得三角恒等式為：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

，進而根據(jù)兩角差的余弦公式，展開化簡后可得答案．

解答：解：（I）選擇（2）為例：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-

1

2

sin30°=1-

1

4

=

3

4

…（4分）
（II）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，可得三角恒等式為：
sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

…（6分）
證明如下：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=sin²α+（

3

2

cosα+

1

2

sinα）²-sinα（

3

2

cosα+

1

2

sinα）
=

3

4

sin²α+

3

4

cos²α=

3

4

…（12分）

點評：本題考查的知識點是歸納推理，三角函數(shù)恒等式的證明，熟練掌握二倍角正弦公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，特殊角三角函數(shù)值及兩角差的余弦公式，是解答的關(guān)鍵．