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        1. 如圖,在三棱臺A1B1C1-ABC中,已知A1A⊥底面ABC,A1A=A1B1=B1C1=a,B1B⊥BC,且B1B和底面ABC所成的角45°,求這個棱臺的體積.

          【答案】分析:利用直線和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥側(cè)面A1ABB1,從而根據(jù)平面的垂線的定義又可得出BC⊥AB,∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角,求出AB、BC,再利用棱臺的體積公式求出體積即可.
          解答:解:因為A1A⊥底面ABC,所以根據(jù)平面的垂線的定義有A1A⊥BC.
          又BC⊥BB1,且棱AA1和BB1的延長線交于一點,
          所以利用直線和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥側(cè)面A1ABB1,
          從而根據(jù)平面的垂線的定義又可得出BC⊥AB.
          ∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.
          并且∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角,
          ∠ABB1=45°.
          作B1D⊥AB交AB于D,則B1D∥A1A,故B1D⊥底面ABC.
          ∵Rt△B1DB中∠DBB1=45°,
          ∴DB=DB1=AA1=a,
          ∴AB=2a.
          由于棱臺的兩個底面相似,故
          Rt△ABC∽Rt△A1B1C1
          ∵B1C1=A1B1=a,AB=2a,
          ∴BC=2a.
          ∴S=A1B1×B1C1=
          S=AB×BC=2a2
          V棱臺=•A1A•
          =•a•
          點評:本題主要考查了直線與平面之間的位置關(guān)系,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.
          練習(xí)冊系列答案
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          如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1AB,點E,M分別為A1B,C1C的中點,過點A1,B,M三點的平面A1BMN交C1D1于點N

          (Ⅰ)求證:EM∥平面A1B1C1D1

          (Ⅱ)求二面角B-A1N-B1的正切值;

          (Ⅲ)(文)設(shè)A1A=1,求棱臺MNC1-BA1B1的體積V.

          (理)設(shè)截面A1BMN把該正四棱柱截成的兩個幾何體的體積分別為V1,V2(V1<V2),求V1∶V2的值.

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