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        1. 已知函數(shù)f(x)=ax-
          1
          x
          -lnx
          ,a∈R,x∈[
          1
          2
          ,2]

          (1)當(dāng)a=-2時(shí),求f(x)的最大值;
          (2)設(shè)g(x)=[f(x)+lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同的兩點(diǎn)的連線的斜率,是否存在實(shí)數(shù)a,使得k<1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
          分析:(1)當(dāng)a=-2時(shí),求導(dǎo)函數(shù),確定f(x)在區(qū)間[
          1
          2
          ,2]
          上單調(diào)遞減,從而可求f(x)的最大值;
          (2)存在a∈(-∞,
          1
          6
          )
          符合條件.
          解法一:據(jù)題意存在k=
          y1-y2
          x1-x2
          =
          g(x1)-g(x2)
          x1-x2
          =g(x0)=3ax02-1<1
          ,分離參數(shù),可得結(jié)論;
          解法二:據(jù)題意存在k=
          y1-y2
          x1-x2
          =
          y1-y2
          x1-x2
          =
          a(x13-x23)-(x1-x2)
          x1-x2
          =a(x12+x22+x1x2)-1<1,分離參數(shù),可得結(jié)論.
          解答:解:f(x)的定義域?yàn)?span id="eelcoct" class="MathJye">[
          1
          2
          ,2],f(x)=a+
          1
          x2
          -
          1
          x
          …(2分)
          (1)當(dāng)a=-2時(shí),在x∈[
          1
          2
          ,2]
          ,f(x)=-
          (2x-1)(x+1)
          x2
          ≤0
          ,…(4分)
          所以f(x)在區(qū)間[
          1
          2
          ,2]
          上單調(diào)遞減,…(6分)
          f(x)max=f(
          1
          2
          )=ln2-3
          .                                …(7分)
          (2)存在a∈(-∞,
          1
          6
          )
          符合條件.
          解法一:據(jù)題意在y=g(x)=[f(x)+lnx]•x2=ax3-x圖象上總可以找到一點(diǎn)P0(x0,y0)使以p為切點(diǎn)的切線平行圖象上的任意兩點(diǎn)的連線,…(9分)
          即存在k=
          y1-y2
          x1-x2
          =
          g(x1)-g(x2)
          x1-x2
          =g(x0)=3ax02-1<1
          恒成立,…(12分)
          因?yàn)?span id="ttgxteb" class="MathJye">x0∈[
          1
          2
          ,2],所以x02∈[
          1
          4
          ,4]
          ,所以a<(
          2
          3x02
          )min
          =
          1
          6
          …(14分)
          故存在a∈(-∞,
          1
          6
          )
          符合條件.                               …(15分)
          解法二:g(x)=[f(x)+lnx]•x2=ax3-x,不妨設(shè)任意不同兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)其中x1<x2,則k=
          y1-y2
          x1-x2
          =
          y1-y2
          x1-x2
          =
          a(x13-x23)-(x1-x2)
          x1-x2
          =a(x12+x22+x1x2)-1<1…(10分)
          由于k<1恒成立,則k<3ax22-1<1恒成立,知a<
          2
          3x2
          恒成立…(12分)
          因?yàn)?span id="dqnohvf" class="MathJye">x2∈[
          1
          2
          ,2],所以x22∈[
          1
          4
          ,4]
          ,故a<(
          2
          3x2
          )min=
          1
          6
          ,…(14分)
          故存在a∈(-∞,
          1
          6
          )
          符合條件.                           …(15分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的最值,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查恒成立問(wèn)題,考查分離參數(shù)法的運(yùn)用,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-
          12x+1

          (1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
          (2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
          (3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),求f(x)的值域.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)
          a-x  ,x≤0
          1  ,0<x≤3
          (x-5)2-a,x>3
          (a>0且a≠1)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(8,6).
          (1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象;
          (2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
          (3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-
          1
          2x+1
          ,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
          A、
          1
          2
          B、2
          C、
          1
          3
          D、3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          a(x-1)x2
          ,其中a>0.
          (I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
          (III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-
          12x-1
          ,(a∈R)
          (1)求f(x)的定義域;
          (2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
          (3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案