Question

定義在R上的函數f (x)滿足：如果對任意x₁，x₂R，都有，則稱函數f (x)是R上的凹函數．已知二次函數．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

（1）當時,試判斷函數f (x)是否為凹函數,并說明理由；

（2）如果函數f (x)對任意的x[0，1]時，都有，試求實數a的范圍。

 

Answer 1

解析：（1）a=1時，函數f (x)是凹函數。        

    此時     ，

= ()² + ()，

[f (x₁) + f (x₂)] =[x+ x₁ + x+ x₂]，   

作差得到：  ² [f (x₁) + f (x₂)]

= ()² + ()  (x+ x) (x₁ + x₂) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    =

    = =0，                   

    即有[f (x₁) + f (x₂)]，

故知函數為凹函數       w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

  （2）由

則有  

i）若x = 0時，則aR恒成立．

ii）若x時，有

       ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

∴當= 1時，[ (+)² +]_max = 2，所以，

[  ()² ]_min = 0，所以．                          

又∵a≠0，故得到a．