Question

，其中ω＞0．
（1）若ω=2，求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）滿足f（π+x）=f（π-x）（x∈R），且，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)公式展開，結(jié)合二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式進(jìn)行化簡，得f（x）=．因?yàn)棣?2，所以f（x）=，利用三角函數(shù)的周期公式即可算出函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）因?yàn)閒（π+x）=f（π-x）對x∈R成立，所以直線x=π是函數(shù)圖象的對稱軸．根據(jù)余弦函數(shù)圖象對稱軸方程的公式列式，算出，結(jié)合可得，從而得到，最后利用余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的結(jié)論建立關(guān)于x的不等式，解之即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
解答：解：根據(jù)題意，得
∵2sinωxcosωx=sin2ωx，cos²ωx=（1+cos2ωx）
∴f（x）

=…（5分）
（1）若ω=2，則函數(shù)表達(dá)式為：，
因此，f（x）的最小正周期…（7分）
（2）∵y=f（x）滿足f（π+x）=f（π-x）（x∈R）
∴直線x=π是函數(shù)圖象的對稱軸，可得或，
因此，．解之得
又∵，∴取整數(shù)k=2，得，
可得函數(shù)解析式為：
解不等式，得
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為．…（13分）
點(diǎn)評：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．