Question

如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2．
（Ⅰ）求證：AE//平面DCF；
（Ⅱ）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為．

Answer 1

（1）見解析；（2）.

由于理科有空間向量的知識(shí)，在解決立體幾何試題時(shí)就有兩套根據(jù)可以使用，這為考生選擇解題方案提供了方便，但使用空間向量的方法解決立體幾何問題也有其相對(duì)的缺陷，那就是空間向量的運(yùn)算問題，空間向量有三個(gè)分坐標(biāo)，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)極易出現(xiàn)錯(cuò)誤，而且空間向量方法證明平行和垂直問題的優(yōu)勢(shì)并不明顯，所以在復(fù)習(xí)立體幾何時(shí)，不要純粹以空間向量為解題的工具，要注意綜合幾何法的應(yīng)用。（1）只要過點(diǎn)作的平行線即可；（2）由于點(diǎn)是點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，只要過點(diǎn)作的垂線即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具體的計(jì)算問題。或者建立空間直角坐標(biāo)系，使用法向量的方法求解。
方法一：（Ⅰ）證明：過點(diǎn)作交于，連結(jié)，

可得四邊形為矩形，又為矩形，所以，從而四邊形為平行四邊形，故．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212837861475.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以平面．………6分
（Ⅱ）解：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)．
由平面平面，，得平面，
從而．所以為二面角的平面角．
在中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212838314719.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212838454549.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
從而，于是，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212838626813.png" style="vertical-align:middle;" />所以當(dāng)為時(shí)，
二面角的大小為………12分

方法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，
則，，，，．
（Ⅰ）證明：，，，
所以，，從而，，
所以平面．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212839390413.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面平面．
故平面．………6分
（Ⅱ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212839609850.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，，從而
解得．所以，．設(shè)與平面垂直，
則，，解得．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823212839827409.png" style="vertical-align:middle;" />平面，，所以，
得到．所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為．………12分