Question

設(shè)奇函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有．
（1）求和的值；
（2）數(shù)列{a_n}滿足：a_n=f（0）+，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列嗎？請(qǐng)給予證明；
（3）設(shè)m與k為兩個(gè)給定的不同的正整數(shù)，{a_n}是滿足（2）中條件的數(shù)列，
證明：（s=1，2，…）．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據(jù)，且f（x）是奇函數(shù)把代入即可求出；再結(jié)合奇函數(shù)得到；把代入即可得到的值；
（2）先設(shè)，利用倒序相加法結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論，求出，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)定義即可證得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（3）先根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)論把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，再利用基本不等式對(duì)其放縮即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵，且f（x）是奇函數(shù)
∴
∴，故…（2分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190019167238436/SYS201310241900191672384019_DA/12.png">，所以．
令，得，即．…（4分）
（2）設(shè)
又
兩式相加．
所以，…（6分）
故…（7分）
又．故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．…（8分）
（3）∵
=
=||
要證：（s=1，2，…）
即 …（10分）
∵
∴
即，從而…（12分）
又∵恒成立，
所以有恒成立
即（s=1，2，…）…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題．解決本題第一問(wèn)的關(guān)鍵在于利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到．而解決第二問(wèn)的關(guān)鍵在于用到了倒序相加求和．