Question

是否存在這樣的實數(shù)a，使函數(shù)f（x）=x²+（3a-2）x+a-1在區(qū)間[-1，3]上與x軸恒有一個交點，且只有一個交點．若存在，求出范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：此題考查的是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用類問題．在解答時，先結(jié)合存在性問題的特點先假設(shè)存在a符合題意，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點存在性的問題結(jié)合二次函數(shù)的特點即可獲得問題的解答，注意驗證．

解答：解：若實數(shù)a滿足條件，則只需f（-1）•f（3）≤0即可．
f（-1）•f（3）=（1-3a+2+a-1）•（9+9a-6+a-1）=4（1-a）（5a+1）≤0．所以a≤-

1

5

或a≥1．
檢驗：（1）當(dāng)f（-1）=0時，a=1．所以f（x）=x²+x．令f（x）=0，即x²+x=0．得x=0或x=-1．
方程在[-1，3]上有兩根，不合題意，
故a≠1．
（2）當(dāng)f（3）=0時，a=-

1

5

，此時f（x）=x²-

13

5

x-

6

5

．令f（x）=0，即x²-

13

5

x-

6

5

=0，解之得x=-

2

5

或x=3．方程在[-1，3]上有兩根，不合題意，故a≠-

1

5

．
綜上所述：a的取值范圍為a＜-

1

5

或a＞1．

點評：此題考查的是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想、零點存在性知識以及結(jié)果驗證的技巧．值得同學(xué)們體會反思．