Question

（本題滿分13分）如圖，在三棱柱中，已知

側(cè)面

(Ⅰ)求直線C₁B與底面ABC所成角正切值；

(Ⅱ)在棱（不包含端點(diǎn)上確定一點(diǎn)的位置，使得(要求說明理由).

(Ⅲ)在（2）的條件下,若，求二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 2     (Ⅱ) 為的中點(diǎn)      (Ⅲ) 45°

【解析】本試題主要是考查了線面角和線線垂直的證明，以及二面角的平面角的求解的綜合運(yùn)用。

（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，然后表示平面的法向量以及直線的斜向量，利用向量的夾角公式得到線面角的求解。

（2）假設(shè)存在點(diǎn)使得滿足題意，然后利用垂直關(guān)系解得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而分析得到結(jié)論。

（3）在前面的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得到兩個(gè)半平面的法向量的求解，結(jié)合法向量的夾角公式得到二面角的平面角的大小的運(yùn)算。

解：如圖，以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，···················· 1分

(Ⅰ)直三棱柱中，平面的法向量，又，

設(shè)，

則 ·············· 3分

          

  即直線與底面所成角正切值為2.   ·········· 4分

（Ⅱ）設(shè)，則，

，∴  

，即 ·················· 8分

Ⅲ）∵，則，

設(shè)平面的法向量，

則，取 ··········· 10分

∵，∴，

又····················· 11分

∴平面的法向量，∴

∴二面角的大小為45°    13分