Question

P為橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)上一點，A、B為圓O：x²+y²=b²上的兩個不同的點，直線AB分別交x軸，y軸于M、N兩點且

PA

•

OA

=0，

PB

•

OB

=0，O為坐標(biāo)原點．
（1）若橢圓的準(zhǔn)線為y=±

25

3

，并且

a2

| OM |2

+

b2

| ON |2

=

25

16

，求橢圓C的方程．
（2）橢圓C上是否存在滿足

PA

•

PB

=0的點P？若存在，求出存在時a，b滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)條件求出PA與PB，進而得到AB的方程，求出M、N兩點的坐標(biāo)，代入

a2

| OM |2

+

b2

| ON |2

=

25

16

，可以得到關(guān)于a，b的等式；再結(jié)合橢圓的準(zhǔn)線為y=±

25

3

，即可求出a，b的值，進而求出橢圓C的方程．
（2）先假設(shè)存在P（x₀，y₀）滿足要求，得到OBPA為正方形，即|OP|=

2

b，轉(zhuǎn)化為關(guān)于點P（x₀，y₀）的等式；再結(jié)合P（x₀，y₀）在橢圓上，即可求出點P（x₀，y₀）的坐標(biāo)所滿足的等式，再通過討論即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）
易求得PA：x₁x+y₁y=b²，PB：x₂x+y₂y=b²，
則x₁x₀+y₁y₀=b²，x₂x₀+y₂y₀=b²
于是AB：x₀x+y₀y=b²（x₀y₀≠0），
可求得M(

b2

x0

，0)N(0，

b2

y0

)

a2

| OM |2

+

b2

| ON |2

=

a2

b4 x 2 0

+

b2

b4 y 2 0

=

a2 x 2 0

b4

+

b2 y 2 0

b4

=

a2

b2

(

x 2 0

b2

+

y 2 0

a2

)=

a2

b2

=

25

16

再由條件

a2

c

=

25

3

，以及a²-b²=c²易得a=5，b=4，
于是所求橢圓為

y2

25

+

x2

16

=1，
（2）設(shè)存在P（x₀，y₀）滿足要求，則當(dāng)且僅當(dāng)OBPA為正方形．
|OP|=

2

b，即x₀²+y₀²=2b²…（1），
又因為：

y 2 0

a2

+

x 2 0

b2

=1(a＞b＞0)…(2)
解（1）（2）得

x

2 0

=

b2(a2-2b2)

a2-b2

，

y

2 0

=

b2a2

a2-b2

所以   （ⅰ）當(dāng)a＞

2

b＞0時，存在P（x₀，y₀）滿足要求；
（ⅱ）當(dāng)0＜b＜a＜

2

b時，不存在P（x₀，y₀）滿足要求．

點評：本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問題．圓與圓錐曲線同屬于幾何內(nèi)容，都可以用解析法研究（都是二次曲線）．所以要特別關(guān)注圓與圓錐曲線在一些題目中的交匯、綜合．