Question

已知點(diǎn)P為橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則∠F₁PF₂的余弦值是（ ）
A．0
B．
C．1
D．

Answer 1

【答案】分析：由橢圓和雙曲線的定義，得到|PF₁|+|PF₂|=10且||PF₁|-|PF₂||=6，聯(lián)解得到|PF₁|²+|PF₂|²=68且2|PF₁|•|PF₂|=32，再算出橢圓的焦距，利用余弦定理加以計(jì)算即可算出∠F₁PF₂的余弦值．
解答：解：根據(jù)橢圓的定義，可得|PF₁|+|PF₂|=2a=10…①
由雙曲線的定義，可得||PF₁|-|PF₂||=2a'=6…②
①②聯(lián)解，得|PF₁|²+|PF₂|²=68且2|PF₁|•|PF₂|=32
又∵點(diǎn)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，
∴|F₁F₂|=2=8，可得|F₁F₂|²=64
△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂==
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題在雙曲線與橢圓中，求△F₁PF₂中cos∠F₁PF₂的值．著重考查了橢圓、雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程和余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．