Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，當(dāng)x∈（-3，2）時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式ax²+bx+c≤0的解集為R，求c的取值范圍；
（3）當(dāng)x＞-1時(shí)，求y=

f(x)-21

x+1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，當(dāng)x∈（-3，2）時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＜0，可得f（x）=0的兩根為-3，2，由韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）我們易求出a，b的值，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；
（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)不等式-3x²+5x+c≤0的解集為R，可得△≤0，由此構(gòu)造關(guān)于c的不等式，解不等式即可求出c的取值范圍；
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論，我們易求出y=

f(x)-2

x+1

的解析式，結(jié)合基本不等式，分析出函數(shù)的值域，即可得到其最大值．

解答：解：（1）由已知得，方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩個(gè)根為-3，2，
則

- b-8 a =1 - a+ab a =-6

，即

b-8=a 1+b=6

，
解得a=-3，b=5，
∴f（x）=-3x²-3x+18；
（2）由已知得，不等式-3x²+5x+c≤0的解集為R，
因?yàn)椤?5²-4×（-3）×c≤0，
∴c≤-

25

12

，即c的取值范圍為（-∞，-

5

12

]，
（3）y=

f(x)-21

x+1

=

-3x2-3x-3

x+1

=-3×（x+

1

x+1

）=-3×[（x+1）+

1

x+1

-1]，
因?yàn)閤＞-1，（x+1）+

1

x+1

≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=

1

x+1

，即x=0時(shí)取等號，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y_max=-3．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次不等式的解法，基本不等式，函數(shù)的最值，其中根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與對應(yīng)方程根的關(guān)鍵，結(jié)合韋達(dá)定理，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，進(jìn)而求出a，b的值，是解答本題的關(guān)鍵．