Question

函數(shù)f（x）滿足：f（3x+y）=3f（x）+f（y）對任意的x，y∈R均成立，且當x＞0時，f（x）＜0．
（I）求證：f（4x）=4f（x），f（3x）=3f（x）；
（II）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性并證明；
（III）若f（8）=-2，解不等式：f(log2

x-2

x2

)+12f(log24

x

)＜-

1

2

．

Answer 1

分析：（I）使用賦值法，先令y=x，得f（4x）=4f（x），再令x=y=0，得f（0）=0，最后令y=0，得f（3x）=3f（x）
（II）利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及已知抽象表達式，x＞0時，f（x）＜0．即可證明f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)
（III）先利用抽象表達式得f（2）=-

1

2

，再利用對數(shù)運算性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將不等式轉化為對數(shù)不等式組，解之即可

解答：解：（I）證明：令y=x，則f（4x）=4f（x）
令x=y=0，則f（0）=0
令y=0，則f（3x）=3f（x）
（II）解：f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，以下證明：
任設x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＞x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=f（

x1-x2

3

×3+x₂）-f（x₂）=3f（

x1-x2

3

）
∵x₁-x₂＞0
∴f（

x1-x2

3

）＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)
（III）解：∵f（8）=-2
∴4f（2）=2，∴f（2）=-

1

2

12f（log₂

4	x

）=3f（4log₂

4	x

）=3f（log₂x）
∴f(log2

x-2

x2

)+12f(log24

x

)=f(log2

x-2

x2

)+3f(log2x )
=f(log2

x-2

x2

+3log2x  )=f（log₂[x（x-2）]）
∴f(log2

x-2

x2

)+12f(log24

x

)＜-

1

2

?f（log₂[x（x-2）]）＜f（2）
?

x＞0 log2[x(x-2)]＞ x-2＞0

2?

x＞2 x(x-2)＞4

?x＞1+

5

∴不等式的解集為x＞1+

5

點評：本題綜合考查了抽象表達式的意義和作用，函數(shù)單調(diào)性的定義及證明，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的技巧