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        1. 已知點(diǎn)P在△ABC所在平面外,PA=PB,CB⊥平面PAB,M為PC的中點(diǎn),N在AB上,如圖所示,問(wèn)當(dāng)N在AB的什么位置上時(shí),有MN⊥AB?

          解析:欲證MN⊥AB,注意到AB是平面PAB內(nèi)的一條直線(xiàn),MN是這一平面的一條斜線(xiàn),所以只需證MN在平面PAB內(nèi)的射影與AB垂直.

          如圖所示,取PB中點(diǎn)E,

          連結(jié)EM,則EM∥BC.

          又BC⊥平面PAB,所以EM⊥平面PAB.

          設(shè)AB中點(diǎn)為F,因?yàn)镻A=PB,所以PF⊥AB.

          作EN∥PF,且EN∩AB=N,則EN⊥AB.

          由三垂線(xiàn)定理知MN⊥AB.

          此時(shí)N為AB的一個(gè)四等分點(diǎn),且.

          所以當(dāng)N是AB的一個(gè)四等分點(diǎn)且距B為AB時(shí),MN⊥AB.

          小結(jié):三垂線(xiàn)定理或其逆定理可以看作是線(xiàn)面垂直的一種性質(zhì)定理.如本例,由ME⊥平面PAB,有ME⊥AB,又EN⊥AB,所以AB⊥平面MEN.

          所以AB⊥MN.但為方便起見(jiàn),我們應(yīng)該熟悉三垂線(xiàn)定理及其逆定理的直接使用.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=
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          ,AC=BC=1
          ,∠ACB=∠PAC=∠PBC=90°,D為AB的中點(diǎn).
          (Ⅰ)求證:平面PDC⊥平面ABC;
          (Ⅱ)求點(diǎn)P到平面ABC的距離;
          (Ⅲ)已知點(diǎn)E在線(xiàn)段PB上,且BE=1,求EC與平面ABC所成的角.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (考生注意:請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評(píng)閱記分)
          A.(不等式選做題)不等式|
          x+1
          x-1
          |≥1
          的解集是
          (-∞,0]
          (-∞,0]

          B.(幾何證明選做題) 如圖,以AB=4為直徑的圓與△ABC的兩邊分別交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),∠ACB=60°,則EF=
          2
          2

          C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 在極坐標(biāo)中,已知點(diǎn)P為方程ρ(cosθ+sinθ)=1所表示的曲線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),Q(2,
          π
          3
          ),則|PQ|的最小值為
          6
          2
          6
          2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知點(diǎn)P(x,y)在△ABC所圍成的三角形區(qū)域中(包括邊界)其中三頂點(diǎn)A(1,1),B(5,2),C(1,4),若z=ax+y取最大值時(shí)的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè),則正數(shù)a的值為
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知點(diǎn)P在△ABC所在平面外,直線(xiàn)PA與AB、AC所成的角均為arcsin,且AB = AC =,BC =,則異面直線(xiàn)PA與BC的距離是         。

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          同步練習(xí)冊(cè)答案