Question

已知橢圓的左、右焦點分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足，點P是線段F₁Q與該橢圓的交點，點T在線段F₂Q上，并且滿足，。

（1）設(shè)x為點P的橫坐標，證明；
（2）求點T的軌跡C的方程；
（3）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M， 使△F₁MF₂的面積S=b²。若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)點P的坐標為
由P在橢圓上，得
 =

由，知
所以=。
（2）設(shè)點T的坐標為
當=0時，點（a，0）和點（-a，0）在軌跡上
當||≠0且時，由得
又
所以T為線段F₂Q的中點
在△QF₁F₂中，
所以有
綜上所述，點T的軌跡C的方程是。
（3）C上存在點M（x₀，y₀）使S=b²的充要條件是

由③得
由④得
所以當時，存在點M，使S=
當時，不存在滿足條件的點M。
當時，
由


得。