Question

（09年雅禮中學(xué)月考文）（13分）已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與所在的直線交于點(diǎn)Q.

（1）求橢圓的方程：

（2）是否存在這樣直線，使得點(diǎn)Q恒在直線上移動(dòng)？若存在,求出直線方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解析：（1）設(shè)橢圓方程為 -------------------------（1分）

將、、代入橢圓E的方程，得

解得.------------------------------------（4分）

∴橢圓的方程--------------------------------------- （5分）

（也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，知類似計(jì)分）

（2）       可知：將直線----------------------------------------（6分）

代入橢圓的方程并整理．得----（7分）

設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，

由根系數(shù)的關(guān)系，得---------------------（8分）

直線的方程為：

由直線的方程為：，即-------------（9分）

由直線與直線的方程消去，得

---------------------（10分）

---------------（12分）

∴直線與直線的交點(diǎn)在直線上． 故這樣的直線存在-----------（13分）