Question

選修4-5：不等式選講
已知關(guān)于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log₂a（其中a＞0）．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，不等式即|2x+1|-|x-1|≤2，分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值，分別求出解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）化簡(jiǎn)f（x）=|2x+1|-|x-1|的解析式，求出f（x）的最小值為-

3

2

，則由 log2a≥-

3

2

，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，不等式即|2x+1|-|x-1|≤2，當(dāng)x＜-

1

2

時(shí)，不等式為-x-2≤2，解得-4≤x＜-

1

2

．（1分）
當(dāng)-

1

2

≤x≤1時(shí)，不等式為 3x≤2，解得-

1

2

≤x≤

2

3

．（2分） 當(dāng)x＞1時(shí)，不等式為x+2≤2，此時(shí)x不存在．（3分）
綜上，不等式的解集為{x|-4≤x≤

2

3

}．（5分）
（Ⅱ）設(shè)f（x）=|2x+1|-|x-1|=

-x-2 ，x＜- 1 2 3x ，- 1 2 ≤x≤1 x+2  ，x＞1

，
故f(x)∈[-

3

2

，+∞)，即f（x）的最小值為-

3

2

．（8分）
所以，當(dāng)f（x）≤log₂a有解，則有 log2a≥-

3

2

，解得a≥

2

4

，即a的取值范圍是[

2

4

，+∞)．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的不等式組來(lái)解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．