Question

（2012•成都一模）已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-mln

1+2x

+mx-2m，m＜0．
（I）當(dāng)m=-1時(shí)，求函數(shù)y=f(x)-

x

3

的單調(diào)區(qū)間；
（II）已知m≤-

e

2

（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若存在實(shí)數(shù)x0∈(-

1

2

，

e-1

2

]，使f（x₀）＞e+1成立，證明：2m+e+l＜0；
（III）證明：

n

k=1

8k-3

3k2

＞ln

(n+1)(n+2)

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出其單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）將已知m≤-

e

2

（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若存在實(shí)數(shù)x0∈(-

1

2

，

e-1

2

]，使f（x₀）＞e+1成立，等價(jià)于已知m≤-

e

2

，當(dāng)x∈(-

1

2

，

e-1

2

]時(shí)，使f（x）_max＞e+1成立，先求出函數(shù)f（x）的最大值，進(jìn)而即可得出結(jié)論．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)y=f（x）-

x

3

在區(qū)間[-

1

6

，1]上單調(diào)遞減，所以f（x）-

x

3

＜f（0）．可得

4

3

x-

1

2

x2＞ln

1+2x

．當(dāng)n∈N^*時(shí)，

1

n

∈(0，1]，得

8

3n

-

1

n2

＞ln(1+

2

n

)，即

8n-3

3n2

＞ln

n+2

n

．利用上式即可證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)m=-1時(shí)，f（x）=

1

2

x2+ln

1+2x

-x+2，∴y=

1

2

x2+ln

1+2x

-

4x

3

+2．
∵

1+2x

≥0，∴x≥-

1

2

，∴此函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞-

1

2

}．
∵y^′=x+

1

1+2x

-

4

3

=

(x-1)(6x+1)

3(1+2x)

．
令y^′=0，得x=-

1

6

或x=1．
又x＞-

1

2

，當(dāng)-

1

2

＜x＜-

1

6

，或x＞1時(shí)，y^′＞0；當(dāng)-

1

6

＜x＜1時(shí)，y^′＜0．
∴函數(shù)y=f（x）-

4

3

x在區(qū)間(-

1

2

，-

1

6

)或（1，+∞）上單調(diào)遞增；在區(qū)間(-

1

6

，1)上單調(diào)遞減．
．（Ⅱ）∵已知m≤-

e

2

（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若存在實(shí)數(shù)x0∈(-

1

2

，

e-1

2

]，使f（x₀）＞e+1成立，
∴上述問題等價(jià)于已知m≤-

e

2

，當(dāng)x∈(-

1

2

，

e-1

2

]時(shí)，使f（x）_max＞e+1成立，
下面求當(dāng)x∈(-

1

2

，

e-1

2

]時(shí)，函數(shù)求（x）的最大值．
∵m≤-

e

2

，∴0＜

e-1

2

≤-m-

1

2

．
∵f′(x)=x-

m

1+2x

+m=

2x(x+m+ 1 2 )

1+2x

，
∴令f^′（x）=0解得x₁=0，x2=-m-

1

2

．
當(dāng)-

1

2

＜x＜0時(shí)，f^′（x）＞0；當(dāng)0＜x≤

e-1

2

時(shí)，f^′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間(-

1

2

，0)上單調(diào)遞增；在區(qū)間(0，

e-1

2

]上單調(diào)遞減．
故函數(shù)f（x）在x=0時(shí)取得最大值，且f（0）=-2m，
∴-2m＞e+1，即2m+e+1＜0．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)y=f（x）-

x

3

在區(qū)間[-

1

6

，1]上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)y=f（x）-

x

3

在（0，1]上為減函數(shù)．
又函數(shù)y=f（x）-

x

3

在x=0處連續(xù)，∴f（x）-

x

3

＜f（0）．
即

1

2

x2+ln

1+2x

-

4

3

x+2＜2，亦即

1

2

x2+ln

1+2x

-

4

3

x＜0．
∴

4

3

x-

1

2

x2＞ln

1+2x

．
∴當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，有

8

3

x-x2＞ln(1+2x)．
當(dāng)n∈N^*時(shí)，

1

n

∈(0，1]，
∴

8

3n

-

1

n2

＞ln(1+

2

n

)，即

8n-3

3n2

＞ln

n+2

n

．
∴

n

k=1

8k-3

3k2

＞ln

3

1

+ln

4

2

+ln

5

3

+…+ln

n+2

n

=ln

(n+1)(n+2)

2

，
故結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值及證明不等式，熟練求導(dǎo)和善于轉(zhuǎn)化及利用已證結(jié)論是解決問題的關(guān)鍵．