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        1. 我們給出如下定義:對函數(shù)y=f(x),x∈D,若存在常數(shù)C(C∈R),對任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
          f(x1)+f(x2)
          2
          =C
          ,則稱函數(shù)f(x)為“和諧函數(shù)”,稱常數(shù)C為函數(shù)f(x)的“和諧數(shù)”.
          (1)判斷函數(shù)f(x)=x+1,x∈[-1,3]是否為“和諧函數(shù)”?答:______.(填“是”或“否”)如果是,寫出它的一個“和諧數(shù)”:______.(4分)
          (2)證明:函數(shù)g(x)=lgx,x∈[10,100]為“和諧函數(shù)”,
          3
          2
          是其“和諧數(shù)”;
          (3)判斷函數(shù)u(x)=x2,x∈R是否為和諧函數(shù),并作出證明.
          (1)∵對任意x1∈[-1,3],令
          f(x1)+f(x2)
          2
          =2
          ,得x2=2-x1,∴x2∈[-1,3],即對任意的x1∈[-1,3],存在唯一的x2=2-x1∈[-1,3],使得
          f(x1)+f(x2)
          2
          =2
          ,
          故正確答案為  是;  2
          (2)證明:①對任意x1∈[10,100],令
          g(x1)+g(x2)
          2
          =
          3
          2
          ,即
          lgx1+lgx2
          2
          =
          3
          2
          ,
          x2=
          1000
          x1
          .∵x1∈[10,100],∴x2=
          1000
          x1
          ∈[10,100]

          即對任意x1∈[10,100],存在唯一的x2=
          1000
          x1
          ∈[10,100]
          ,使得
          g(x)+g(x2)
          2
          =
          3
          2

          ∴g(x)=lgx為“和諧函數(shù)”,其“和諧數(shù)”為
          3
          2

          參照上述證明過程證明:函數(shù)h(x)=2x,x∈(1,3)為“和諧函數(shù)”,5是其“和諧數(shù)”;
          ②對任意x1∈(1,3),令
          h(x1)+h(x2)
          2
          =5
          ,即
          2x1+2x2
          2
          =5
          ,得2x2=10-2x1,x2=log2(10-2x1).∵x1∈(1,3),∴10-2x1∈(2,8),x2=log2(10-2x1)∈(1,3)
          即對任意x1∈(1,3),存在唯一的x2=log2(10-2x1)∈(1,3),使得
          h(x1)+h(x2)
          2
          =5

          ∴h(x)=2x,x∈(1,3)為“和諧函數(shù)”,5是其“和諧數(shù)”
          (3)函數(shù)u(x)=x2,x∈R不是“和諧函數(shù)”,證明如下:
          對任意的常數(shù)C,①若C≤0,則對于x1=1,顯然不存在x2∈R,使得
          x12+x22
          2
          =
          1+x22
          2
          =C
          成立,
          所以C(C≤0)不是函數(shù)u(x)=x2,x∈R的和諧數(shù);
          ②若C>0,則對于x1=
          4C
          ,由
          x12+x22
          2
          =
          4C+x22
          2
          =C
          得,x22=-2C<0,
          即不存在x2∈R,使
          x12+x22
          2
          =C
          成立.所以C(C>0)也不是函數(shù)u(x)=x2,x∈R的和諧數(shù).
          綜上所述,函數(shù)u(x)=x2,x∈R不是“和諧函數(shù)”.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          我們給出如下定義:對函數(shù)y=f(x),x∈D,若存在常數(shù)C(C∈R),對任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
          f(x1)+f(x2)
          2
          =C
          ,則稱函數(shù)f(x)為“和諧函數(shù)”,稱常數(shù)C為函數(shù)f(x)的“和諧數(shù)”.
          (1)判斷函數(shù)f(x)=x+1,x∈[-1,3]是否為“和諧函數(shù)”?答:
          .(填“是”或“否”)如果是,寫出它的一個“和諧數(shù)”:
          2
          2

          (2)請先學(xué)習(xí)下面的證明方法:
          證明:函數(shù)g(x)=lgx,x∈[10,100]為“和諧函數(shù)”,
          3
          2
          是其“和諧數(shù)”.
          證明過程如下:對任意x1∈[10,100],令
          g(x1)+g(x2)
          2
          =
          3
          2
          ,即
          lgx1+lgx2
          2
          =
          3
          2
          ,
          x2=
          1000
          x1
          .∵x1∈[10,100],∴x2=
          1000
          x1
          ∈[10,100]
          .即對任意x1∈[10,100],存在唯一的x2=
          1000
          x1
          ∈[10,100]
          ,使得
          g(x)+g(x2)
          2
          =
          3
          2
          .∴g(x)=lgx為“和諧函數(shù)”,
          3
          2
          是其“和諧數(shù)”.
          參照上述證明過程證明:函數(shù)h(x)=2x,x∈(1,3)為“和諧函數(shù)”;
          (3)寫出一個不是“和諧函數(shù)”的函數(shù),并作出證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          我們給出如下定義:對函數(shù)y=f(x),x∈D,若存在常數(shù)C(C∈R),對任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
          f(x1)+f(x2)
          2
          =C
          ,則稱函數(shù)f(x)為“和諧函數(shù)”,稱常數(shù)C為函數(shù)f(x)的“和諧數(shù)”.
          (1)判斷函數(shù)f(x)=x+1,x∈[-1,3]是否為“和諧函數(shù)”?答:
           
          .(填“是”或“否”)如果是,寫出它的一個“和諧數(shù)”:
           
          .(4分)
          (2)證明:函數(shù)g(x)=lgx,x∈[10,100]為“和諧函數(shù)”,
          3
          2
          是其“和諧數(shù)”;
          (3)判斷函數(shù)u(x)=x2,x∈R是否為和諧函數(shù),并作出證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2008•上海一模)在統(tǒng)計學(xué)中,我們學(xué)習(xí)過方差的概念,其計算公式為
          σ
          2
           
          =
          1
          N
          [(x1)2+(x2)2+…+(xn)2]
          ,并且知道,其中μ=
          1
          N
          (x1+x2+…+xn)
          為x1、x2、…、xn的平均值.
          類似地,現(xiàn)定義“絕對差”的概念如下:設(shè)有n個實數(shù)x1、x2、…、xn,稱函數(shù)g(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|為此n個實數(shù)的絕對差.
          (1)設(shè)有函數(shù)g(x)=|x+1|+|x-1|+|x-2|,試問當(dāng)x為何值時,函數(shù)g(x)取到最小值,并求最小值;
          (2)設(shè)有函數(shù)g(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-x2|,(x∈R,x1<x2<…<xn∈R),
          試問:當(dāng)x為何值時,函數(shù)g(x)取到最小值,并求最小值;
          (3)若對各項絕對值前的系數(shù)進行變化,試求函數(shù)f(x)=3|x+3|+2|x-1|-4|x-5|(x∈R)的最值;
          (4)受(3)的啟發(fā),試對(2)作一個推廣,給出“加權(quán)絕對差”的定義,并討論該函數(shù)的最值(寫出結(jié)果即可).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008-2009學(xué)年高三數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編:函數(shù) 題型:044

          在統(tǒng)計學(xué)中,我們學(xué)習(xí)過方差的概念,其計算公式為

          并且知道,其中為x1、x2、…、xn的平均值.

          類似地,現(xiàn)定義“絕對差”的概念如下:設(shè)有n個實數(shù)x1、x2、…、xn,稱函數(shù)g(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|為此n個實數(shù)的絕對差.

          (1)設(shè)有函數(shù)g(x)=|x+1|+|x-1|+|x-2|,試問當(dāng)x為何值時,函數(shù)g(x)取到最小值,并求最小值;

          (2)設(shè)有函數(shù)g(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x+x2|,(x∈R,x1<x2<…<xn∈R),

          試問:當(dāng)x為何值時,函數(shù)g(x)取到最小值,并求最小值;

          (3)若對各項絕對值前的系數(shù)進行變化,試求函數(shù)f(x)=3|x+3|+2|x-1|-4|x-5|(x∈R)的最值;

          (4)受(3)的啟發(fā),試對(2)作一個推廣,給出“加權(quán)絕對差”的定義,并討論該函數(shù)的最值(寫出結(jié)果即可).

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