Question

設(shè)f（x）=log（a為常數(shù)）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）的單調(diào)性并證明；
（3）若對(duì)于區(qū)間[3，4]上的每一個(gè)x的值，f（x）＞（）^x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得，f（x）為奇函數(shù)，故有 f（-x）=-f（x），即 =-，
即=，∴=，解得a=±1．   …
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時(shí)不合條件，故a=-1．
（2）由（1）可得f（x）=log ，函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
證明：令g（x）==1+，由于在 區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
故函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，故函數(shù)f（x）=log在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
（3）令h（x）=f（x）-，則由（2）得h（x）在[3，4]上單調(diào)遞增，
故g（x）的最小值為g（3）=-．
 m＜-．
分析：（1）由題意可得，f（x）為奇函數(shù)，故有 f（-x）=-f（x），即=-，化簡(jiǎn)可得=，由此解得a的值．
（2）由（1）可得f（x）=log，令 g（x）==1+，由于在 區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，可得函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)
單調(diào)遞減，從而得到函數(shù)f（x）=log在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
（3）令h（x）=f（x）-，則由（2）得h（x）在[3，4]上單調(diào)遞增，故g（x）的最小值為g（3），運(yùn)算求得結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，汗水肚餓恒成立問題，求函數(shù)的值域，屬于中檔題．