Question

數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n=2n-a_n（n∈N^*）
（1）分別求出a₂，a₃，a₄；
（2）猜想通項(xiàng)公式a_n；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）把n=1，2，3，4分別代入遞推公式可求a₁，a₂，a₃，a₄
（2）根據(jù)（1）中的所求a₁，a₂，a₃，a₄的值的規(guī)律進(jìn)行猜想即可
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟進(jìn)行證明

解答：解：（1）n=1時(shí)，S₁=2-a₁，則a₁=1
n=2，S₂=1+a₂=4-a₂，a2=

3

2

n=3，S3=

5

2

+a3=6-a3，a3=

7

4

n=4，S4=

17

4

+a4=8-a4，a4=

15

8

（2）an=

2n-1

2n-1

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，成立
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立即ak=

2k-1

2k-1

當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=S_k+1-s_k=2（k+1）-a_k+1+a_k-2k
∴2a_k+1=2+a_k=2+

2k-1

2k-1

=

2•2k-1

2k-1

∴ak+1=

2k+1-1

2k

由①②可得對(duì)于任意的正整數(shù)K都成立

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查 了由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是由數(shù)列的前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)行歸納推理．